$(i)$ रेखा,$(ii)$ सतह और $(iii)$ आयतन पर आवेश के सतत वितरण के कारण किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र के लिए व्यंजक प्राप्त कीजिए।

(N/A) $(1)$ रेखीय आवेश वितरण: मान लीजिए कि एक रेखा को $dl$ लंबाई के छोटे तत्वों में विभाजित किया गया है। मान लीजिए $\vec{r}$ रेखीय आवेश घनत्व $\lambda$ वाले एक छोटे तत्व का स्थिति सदिश है,इसलिए इसका आवेश $dq = \lambda dl$ है।
स्थिति सदिश $\vec{R}$ वाले बिंदु $P$ पर विचार करें। मान लीजिए तत्व $dl$ से $P$ तक की दूरी $r^{\prime}$ है,और $\hat{r}^{\prime}$ तत्व से $P$ की दिशा में इकाई सदिश है। तत्व के कारण $P$ पर विद्युत क्षेत्र:
$\vec{dE} = \frac{k \lambda dl}{(r^{\prime})^{2}} \hat{r}^{\prime}$
अध्यारोपण के सिद्धांत (superposition principle) के अनुसार,$P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र:
$\vec{E} = \int_{l} \frac{k \lambda dl}{(r^{\prime})^{2}} \hat{r}^{\prime}$
$(2)$ पृष्ठीय आवेश वितरण: मान लीजिए कि सतह $S$ को छोटे तत्वों $\Delta S$ में विभाजित किया गया है। मान लीजिए $\sigma$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है,इसलिए तत्व पर आवेश $dq = \sigma dS$ है।
सतह तत्व के कारण बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र:
$\vec{dE} = \frac{k \sigma dS}{(r^{\prime})^{2}} \hat{r}^{\prime}$
अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार,$P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र:
$\vec{E} = \int_{S} \frac{k \sigma dS}{(r^{\prime})^{2}} \hat{r}^{\prime}$
$(3)$ आयतन आवेश वितरण: मान लीजिए कि आयतन $V$ का आवेश घनत्व $\rho$ है। छोटे आयतन तत्व $dV$ में आवेश $dq = \rho dV$ है।
आयतन तत्व के कारण बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र:
$\vec{dE} = \frac{k \rho dV}{(r^{\prime})^{2}} \hat{r}^{\prime}$
अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार,$P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र:
$\vec{E} = \int_{V} \frac{k \rho dV}{(r^{\prime})^{2}} \hat{r}^{\prime}$